📘 Jawaban Aljabar Linear — Step by Step

$$A-\lambda I = \begin{bmatrix} 2-\lambda & 6 & -4 \\ 0 & -1-\lambda & 2 \\ 1 & 2 & -1-\lambda \end{bmatrix}$$

Caranya: tempel ulang kolom 1 dan 2 di sebelah kanan matriks, lalu kalikan tiap diagonal.

$$\begin{bmatrix} 2-\lambda & 6 & -4 & | & 2-\lambda & 6 \\ 0 & -1-\lambda & 2 & | & 0 & -1-\lambda \\ 1 & 2 & -1-\lambda & | & 1 & 2 \end{bmatrix}$$

Diagonal turun (kanan-bawah, tanda +):

$$(2-\lambda)(-1-\lambda)(-1-\lambda) + (6)(2)(1) + (-4)(0)(2)$$

Diagonal naik (kiri-bawah, tanda −):

$$(1)(-1-\lambda)(-4) + (2)(2)(2-\lambda) + (-1-\lambda)(0)(6)$$

Diagonal turun:

Suku 1: $(2-\lambda)(-1-\lambda)^2 = (2-\lambda)(1+\lambda)^2$

Ingat $(1+\lambda)^2 = \lambda^2+2\lambda+1$, jadi:

$$(2-\lambda)(\lambda^2+2\lambda+1) = 2\lambda^2+4\lambda+2-\lambda^3-2\lambda^2-\lambda = -\lambda^3+3\lambda+2$$

Suku 2: $(6)(2)(1) = 12$

Suku 3: $0$

Total diagonal turun: $-\lambda^3+3\lambda+2+12 = -\lambda^3+3\lambda+14$

Diagonal naik:

Suku 4: $(1)(-1-\lambda)(-4) = 4(1+\lambda) = 4+4\lambda$

Suku 5: $(2)(2)(2-\lambda) = 4(2-\lambda) = 8-4\lambda$

Suku 6: $0$

Total diagonal naik: $(4+4\lambda)+(8-4\lambda) = 12$

$$\det(A-\lambda I) = (-\lambda^3+3\lambda+14) - 12 = -\lambda^3+3\lambda+2$$

Disamakan dengan nol (kalikan −1 biar rapi):

$$\lambda^3 - 3\lambda - 2 = 0$$

Coba $\lambda=2$: $8-6-2=0$ ✓ KETEMU!

Karena $\lambda=2$ adalah akar, $(\lambda-2)$ adalah salah satu faktor. Bagi polinomial:

$$\lambda^3-3\lambda-2 = (\lambda-2)(\lambda^2+2\lambda+1) = (\lambda-2)(\lambda+1)^2$$

Jadi disamakan nol: $(\lambda-2)(\lambda+1)^2=0$

Substitusi ke $(A-2I)v=0$:

$$\begin{bmatrix} 0 & 6 & -4 \\ 0 & -3 & 2 \\ 1 & 2 & -3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix}$$

Dari baris 2: $-3y+2z=0 \to y = \dfrac{2z}{3}$. Ambil $z=3 \to y=2$.

Dari baris 3: $x+2y-3z=0 \to x = 3z-2y = 9-4=5$.

$$v_1 = \begin{bmatrix}5\\2\\3\end{bmatrix}$$

Substitusi ke $(A-(-1)I)v=0$, yaitu $(A+I)v=0$:

$$\begin{bmatrix} 3 & 6 & -4 \\ 0 & 0 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix}$$

Dari baris 2: $2z=0 \to z=0$.

Dari baris 3: $x+2y=0 \to x=-2y$. Ambil $y=1 \to x=-2$.

$$v_2 = \begin{bmatrix}-2\\1\\0\end{bmatrix}$$

Matriks simetris artinya $A = A^T$ (kalau dicerminkan lewat diagonal utama, hasilnya sama).

posisi (1,2) = 3	=	posisi (2,1) = 3 ✓
posisi (1,3) = 9	=	posisi (3,1) = 9 ✓
posisi (2,3) = 0	=	posisi (3,2) = 0 ✓

Teorema ini bilang: setiap matriks simetris pasti bisa didiagonalisasi secara ortogonal. Jadi begitu lihat A simetris, langsung bisa jawab "ya, bisa" tanpa ragu.

Setelah dihitung, persamaan karakteristiknya:

$$-\lambda^3 + 5\lambda^2 + 86\lambda - 176 = 0$$

Akar-akarnya (dicoba angka bulat pembagi 176):

$$\lambda_1 = 11, \quad \lambda_2 = 2, \quad \lambda_3 = -8$$

Untuk λ = 11: selesaikan $(A-11I)v=0$:

$$\begin{bmatrix} -10 & 3 & 9 \\ 3 & -9 & 0 \\ 9 & 0 & -9 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix}$$

Dari baris 3: $9x = 9z \to x = z$. Dari baris 2: $3x = 9y \to y = x/3$. Ambil $x=3$: didapat vektor eigen

$$v_1 = \begin{bmatrix}3\\1\\3\end{bmatrix}$$

Untuk λ = 2: selesaikan $(A-2I)v=0$:

$$\begin{bmatrix} -1 & 3 & 9 \\ 3 & 0 & 0 \\ 9 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix}$$

Dari baris 2 & 3: $x=0$. Dari baris 1: $3y+9z=0 \to y=-3z$. Ambil $z=1$: didapat vektor eigen

$$v_2 = \begin{bmatrix}0\\-3\\1\end{bmatrix}$$

Untuk λ = −8: selesaikan $(A+8I)v=0$:

$$\begin{bmatrix} 9 & 3 & 9 \\ 3 & 10 & 0 \\ 9 & 0 & 10 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix}$$

Dari baris 2: $y=-3x/10$. Dari baris 3: $z=-9x/10$. Ambil $x=10$: didapat vektor eigen

$$v_3 = \begin{bmatrix}10\\-3\\-9\end{bmatrix}$$

Karena A simetris, vektor eigen dari λ yang berbeda otomatis saling tegak lurus (cek: $v_1 \cdot v_2 = 0$, $v_1 \cdot v_3=0$, $v_2 \cdot v_3=0$ — semua terbukti nol).

Sekarang normalisasi tiap vektor (bagi dengan panjangnya / norma-nya):

$$\|v_1\| = \sqrt{3^2+1^2+3^2} = \sqrt{19}$$ $$\|v_2\| = \sqrt{0^2+(-3)^2+1^2} = \sqrt{10}$$ $$\|v_3\| = \sqrt{10^2+(-3)^2+(-9)^2} = \sqrt{190}$$

Transformasi linear itu kayak "mesin jujur" yang harus penuhi 2 aturan:

1) Aditif: $T(u+v) = T(u)+T(v)$ — gabung dulu baru dimasukin = dimasukin dulu baru digabung, hasilnya harus sama.

2) Homogen: $T(ku) = kT(u)$ — dikali konstanta dulu atau belakangan, hasilnya harus sama.

Lihat rumus outputnya: $b$, $cx$, $ax^2$. Setiap suku cuma berisi satu variabel dikali konstanta angka 1 — tidak ada $a^2$, tidak ada $a\times b$, dan tidak ada konstanta nyelip (misal +5).

Ambil dua polinomial: $p_1 = a_1+b_1x+c_1x^2$ dan $p_2=a_2+b_2x+c_2x^2$.

$$T(p_1+p_2) = T((a_1+a_2)+(b_1+b_2)x+(c_1+c_2)x^2)$$ $$= (b_1+b_2) + (c_1+c_2)x + (a_1+a_2)x^2$$ $$= (b_1+c_1x+a_1x^2) + (b_2+c_2x+a_2x^2) = T(p_1)+T(p_2) ✓$$

$$T(kp_1) = T(ka_1+kb_1x+kc_1x^2) = kb_1+kc_1x+ka_1x^2 = k(b_1+c_1x+a_1x^2) = kT(p_1) ✓$$

Lihat tiap suku: $(a+b)$, $(a+2c)x$, $(a-2b)x^2$, $(2b+c)x^3$. Semuanya cuma kombinasi penjumlahan/pengurangan dari a, b, c yang dikali konstanta angka — tidak ada perkalian antar variabel ($a\cdot b$), tidak ada pangkat ($a^2$), dan tidak ada konstanta liar (+7 misalnya).

Ambil $p_1=a_1+b_1x+c_1x^2$ dan $p_2=a_2+b_2x+c_2x^2$:

$$T(p_1+p_2) = \big[(a_1+a_2)+(b_1+b_2)\big] + \big[(a_1+a_2)+2(c_1+c_2)\big]x$$ $$+ \big[(a_1+a_2)-2(b_1+b_2)\big]x^2 + \big[2(b_1+b_2)+(c_1+c_2)\big]x^3$$

Kelompokkan ulang per p₁ dan p₂, hasilnya sama dengan $T(p_1)+T(p_2)$ ✓ (karena tiap suku memang cuma penjumlahan linear, jadi bisa dipisah begitu saja).

$$T(kp_1) = (ka_1+kb_1)+(ka_1+2kc_1)x+(ka_1-2kb_1)x^2+(2kb_1+kc_1)x^3$$ $$= k\big[(a_1+b_1)+(a_1+2c_1)x+(a_1-2b_1)x^2+(2b_1+c_1)x^3\big] = kT(p_1) ✓$$